每日一题[2884]近水楼台

已知对任意 $x \in[0,1]$，均有 $\mathrm{e}^x+ax^3-a x^2-1\geqslant0$，实数 $a$ 的最大值为 $\mu$，证明 $: 5<\mu<\dfrac{26}{5}$．

解析    根据题意，有

$$\forall x\in (0,1),~a\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2-x^3},$$ 设 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2-x^3}$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{(2-3x)-{\rm e}^x\left(x^2-4x+2\right)}{x^3(x-1)^2},$$ 极值点位置在 $\dfrac 12$ 附近． 一方面，有 $$\mu\leqslant f\left(\dfrac 12\right)<8\left(\sqrt{\rm e}-1\right),$$ 接下来证明 $$8\left(\sqrt {\rm e}-1\right)<\dfrac{26}5\impliedby \sqrt{\rm e}<1.65\impliedby {\rm e}<2.7225,$$ 因此欲证不等式右侧得证． 另一方面，欲证明 $$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2-x^3}>5\impliedby {\rm e}^{x}>1+5x^2-5x^3,$$ 尝试证明 $$1+x+\dfrac12x^2+\dfrac 16x^3\geqslant 1+5x^2-5x^3,$$ 即 $$1-\dfrac 92x+\dfrac{11}2x^2\geqslant 0,$$ 左边对应判别式为 $\Delta=\dfrac {81}4-22<0$，因此命题得证．