设点 M 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上的一动点,A,B 分别为椭圆的左,右顶点.求证:当且仅当 M 是椭圆的上顶点或下顶点时 △MAB 周长和面积取得最大值.
解析 由于 |AB| 为定值 2a,因此当 M 是椭圆的上顶点或下顶点时,视 AB 为底边,△MAB 的高最大,此时面积取得最大值.下面证明当 M 是椭圆的上顶点或下顶点时 |MA|+|MB| 最大.设 M(x0,y0),A(−a,0),B(a,0),则|MA|+|MB|=√(x0+a)2+y20+√(x0−a)2+y20=√(x0+a)2+b2(1−x20a2)+√(x0−a)2+b2(1−x20a2)=√a2−b2a2x20+2ax0+a2+b2+√a2−b2a2x20−2ax0+a2+b2=√(a2−b2a2−a2a2+b2)x20+(√a2+b2+a√a2+b2x0)2+√(a2−b2a2−a2a2+b2)x20+(√a2+b2−a√a2+b2x0)2=√−b4a2(a2+b2)x20+(√a2+b2+a√a2+b2x0)2+√−b4a2(a2+b2)x20+(√a2+b2−a√a2+b2x0)2⩽等号当 x_0=0 时取得,命题得证.