每日一题[2881]消元配方

设点 M 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上的一动点,A,B 分别为椭圆的左,右顶点.求证:当且仅当 M 是椭圆的上顶点或下顶点时 MAB 周长和面积取得最大值.

解析    由于 |AB| 为定值 2a,因此当 M 是椭圆的上顶点或下顶点时,视 AB 为底边,MAB 的高最大,此时面积取得最大值.下面证明当 M 是椭圆的上顶点或下顶点时 |MA|+|MB| 最大.设 M(x0,y0)A(a,0)B(a,0),则|MA|+|MB|=(x0+a)2+y20+(x0a)2+y20=(x0+a)2+b2(1x20a2)+(x0a)2+b2(1x20a2)=a2b2a2x20+2ax0+a2+b2+a2b2a2x202ax0+a2+b2=(a2b2a2a2a2+b2)x20+(a2+b2+aa2+b2x0)2+(a2b2a2a2a2+b2)x20+(a2+b2aa2+b2x0)2=b4a2(a2+b2)x20+(a2+b2+aa2+b2x0)2+b4a2(a2+b2)x20+(a2+b2aa2+b2x0)2等号当 x_0=0 时取得,命题得证.

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