每日一题[2849]坐标驱动

已知动点 $M\left(x,y\right)$ 到直线 $l:x = 4$ 的距离是它到点 $N\left(1,0\right)$ 的距离的 $2$ 倍．

1、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程．

2、过点 $P\left(0,3\right)$ 的直线 $m$ 与轨迹 $C$ 交于 $A,B$ 两点，若 $A$ 是 $PB$ 的中点，求直线 $m$ 的斜率．

解析

1、本题考查椭圆的定义与标准方程，根据椭圆的焦点准线定义表达基本量关系然后求解即可．

根据题意，动点 $M$ 的轨迹 $C$ 是以 $N(1,0)$ 为右焦点，$l:x=4$ 为右准线的椭圆，设椭圆的半焦距为 $c$，长半轴长为 $a$，则

$$\begin{cases} c=1,\\ \dfrac{a^2}c=4,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ c=1,\end{cases}$$ 因此所求方程为 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$．

2、本题考查直线与椭圆的位置关系，利用点的坐标作为参数表达条件可以更快的解决问题．

设 $A(t,n)$，则由 $A$ 是 $PB$ 的中点，可得 $B(2t,2n-3)$，于是

$$\begin{cases} \dfrac{t^2}4+\dfrac{n^2}3=1,\\ \dfrac{(2t)^2}4+\dfrac{(2n-3)^2}3=1,\end{cases}\iff \begin{cases} \dfrac{t^2}4+\dfrac{n^2}3=1,\\ 4\left(\dfrac{t^2}4+\dfrac{n^2}3\right)-4n+3=1,\end{cases}\iff \begin{cases} t=\pm 1,\\ n=\dfrac 32,\end{cases}$$ 因此直线 $m$ 的斜率为 $$\dfrac{n-3}{m}=\pm \dfrac 32.$$