每日一题[2814]将计就计

若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+ax+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值是_______．

答案    $16$．

解析    本题考查函数的对称性与最值，利用多项式函数的代数结构特点简化问题是解决问题的关键．

根据题意，函数 $f(x+2)$ 必然为偶函数，于是\[\begin{split} f(x+2)&=\left(-4x-\left(x^2+3\right)\right)\cdot \left((4x+\left(x^2+3\right)\right)\\ &=16x^2-\left(x^2+3\right)^2\\ &=-x^4+10x^2-9\\ &\leqslant 16,\end{split}\]等号当 $x^2=5$ 时取得．因此所求的 $f(x)$ 的最大值，即 $f(x+2)$ 的最大值，为 $16$．

备注    事实上，根据对称性我们可以得到$$f(x)=(1-x^2)\cdot \left((-4-x)^2-1\right).$$