每日一题[150]分析端点

2015年高考数学山东卷理科第21题(压轴题):

设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2x),其中aR

(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;

(2)若x>0,f(x)0成立,求a的取值范围.


cover(1)    根据题意,有f(x)=1x+1+a(2x1).

a=0时,函数f(x)显然没有极值点.

a0时,令f(x)=0,则有1a=(2x1)(x+1),如图.

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于是函数f(x)的极值点个数为{0,1a98,1,1a<0,2,0<1a<98.

综上所述,函数f(x)的极值点个数为{0,0a89,1,a<0,2,a>89.

(2)    注意到当x0+时,f(x)0,于是f(0+)0,于是有a1

又注意到当x+时,f(x)<x+a(x2x),于是有a0

下面证明a[0,1]上符合题意.

x1时,显然有f(x)ln(x+1)0;

0x<1时,有f(x)ln(x+1)+x2x,g(x)=ln(x+1)+x2x,则g(x)=1x+1+2x1=2x2+xx+10,于是f(x)0.

综上,a的取值范围是[0,1]


   (1)中当1a=98时,f(x)的零点两侧函数值的符号不会发生变号,因此不为极值点.

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