每日一题[150]分析端点

2015年高考数学山东卷理科第21题（压轴题）：

设函数$f(x)=\ln (x+1)+a\left(x^2-x\right)$，其中$a\in\mathcal R$．

（1）讨论函数$f(x)$极值点的个数，并说明理由；

（2）若$\forall x>0,f(x)\geqslant 0$成立，求$a$的取值范围．

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（1）解    根据题意，有

$$f'(x)=\dfrac{1}{x+1}+a(2x-1).$$

当$a=0$时，函数$f(x)$显然没有极值点．

当$a\neq 0$时，令$f'(x)=0$，则有

$$\dfrac 1a=-(2x-1)(x+1),$$ 如图．

于是函数$f(x)$的极值点个数为

$$\begin{cases}0,&\dfrac 1a\geqslant\dfrac 98,\\1,&\dfrac 1a<0,\\2,&0<\dfrac 1a<\dfrac 98.\end{cases}$$

综上所述，函数$f(x)$的极值点个数为

$$\begin{cases}0,&0\leqslant a\leqslant \dfrac 89,\\1,&a<0,\\2,&a>\dfrac 89.\end{cases}$$

（2）解    注意到当$x\to 0+$时，$f(x)\to 0$，于是$f'(0+)\geqslant 0$,于是有$a\leqslant 1$．

又注意到当$x\to +\infty$时，$f(x)<x+a(x^2-x)$，于是有$a\geqslant 0$．

下面证明$a$在$[0,1]$上符合题意．

当$x\geqslant 1$时，显然有

$$f(x)\geqslant \ln (x+1)\geqslant 0;$$

当$0\leqslant x<1$时，有

$$f(x)\geqslant \ln (x+1)+x^2-x,$$ 令$g(x)=\ln (x+1)+x^2-x$，则 $$g'(x)=\dfrac{1}{x+1}+2x-1=\dfrac{2x^2+x}{x+1}\geqslant 0,$$ 于是 $$f(x)\geqslant 0.$$

综上，$a$的取值范围是$[0,1]$．

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注    （1）中当$\dfrac 1a=\dfrac 98$时，$f'(x)$的零点两侧函数值的符号不会发生变号，因此不为极值点．