2015年高考数学山东卷理科第21题(压轴题):
设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2−x),其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;
(2)若∀x>0,f(x)⩾0成立,求a的取值范围.
(1)解 根据题意,有f′(x)=1x+1+a(2x−1).
当a=0时,函数f(x)显然没有极值点.
当a≠0时,令f′(x)=0,则有1a=−(2x−1)(x+1),如图.
于是函数f(x)的极值点个数为{0,1a⩾98,1,1a<0,2,0<1a<98.
综上所述,函数f(x)的极值点个数为{0,0⩽a⩽89,1,a<0,2,a>89.
(2)解 注意到当x→0+时,f(x)→0,于是f′(0+)⩾0,于是有a⩽1.
又注意到当x→+∞时,f(x)<x+a(x2−x),于是有a⩾0.
下面证明a在[0,1]上符合题意.
当x⩾1时,显然有f(x)⩾ln(x+1)⩾0;
当0⩽x<1时,有f(x)⩾ln(x+1)+x2−x,令g(x)=ln(x+1)+x2−x,则g′(x)=1x+1+2x−1=2x2+xx+1⩾0,于是f(x)⩾0.
综上,a的取值范围是[0,1].
注 (1)中当1a=98时,f′(x)的零点两侧函数值的符号不会发生变号,因此不为极值点.