每日一题[2789]分类与分参

已知函数 $f\left(x\right) = x - 1 + \dfrac{a}{{{{\mathrm{e}}^x}}}$，（$a \in {\mathbb{R}}$，${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）．

1、若曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值．

2、求函数 $f\left(x\right)$ 的极值．

3、当 $a = 1$ 时，若直线 $l:y = kx - 1$ 与曲线 $y = f\left(x\right)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的切线，抓住切点横坐标为参数求解即可． 函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=1-\dfrac a{{\rm e}^x},$$ 于是曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线斜率为 $f'(1)=1-\dfrac{a}{\rm e}$，该切线平行于 $x$ 轴，因此 $$1-\dfrac{a}{\rm e}=0\iff a={\rm e}.$$

2、本题考查利用导数研究函数的极值，根据导数零点位置进行讨论即可． 根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x-a}{{\rm e}^x}.$$

情形一     $a\leqslant 0$．此时 $f'(x)>0$，于是 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，函数 $f(x)$ 没有极值．

情形二     $a>0$．此时 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=\ln a$ 上取得极小值 $\ln a$，没有极大值．

3、本题考查利用导数研究函数的零点，分离变量转化为最值问题是解决问题的关键． 当 $a=1$ 时，$f(x)=x-1+\dfrac{1}{{\rm e}^x}$，因此若直线 $l:y = kx - 1$ 与曲线 $y = f\left(x\right)$ 没有公共点，则关于 $x$ 的方程

$$f(x)=kx-1\iff k=1+\dfrac{1}{x{\rm e}^x}$$ 无解．设函数 $g(x)=1+\dfrac{1}{x{\rm e}^x}$，则 $g(x)>1$，因此当 $k=1$ 时符合题意． 而当 $k> 1$ 时，取 $x_1=\dfrac{1}{k-1}$，则 $x_1>0$，进而 $$g(x_1)=1+\dfrac{1}{x_1{\rm e}^{x_1}}<1+\dfrac{1}{x_1},$$ 取 $x_2=\dfrac 1{k{\rm e}}$，则 $x_2<1$，进而 $$g(x_2)=1+\dfrac{1}{x_2{\rm e}^{x_2}}>1+\dfrac{1}{{\rm e}x_2}=k+1,$$ 因此方程 $g(x)=k$ 有实数解，不符合题意．

综上所述，$k$ 的最大值为 $1$．