每日一题[2776]二阶周期点

已知函数 $f\left( x \right) = a\left( {1 - 2\left| {x - \dfrac{1}{2}} \right|} \right)$，$a$ 为常数且 $a > 0$．

1、证明：函数 $f\left( x \right)$ 的图象关于直线 $x = \dfrac{1}{2}$ 对称．

2、若 ${x_0}$ 满足 $f\left( {f\left( {x_0} \right)} \right) = {x_0}$，但 $f\left( {x_0} \right) \ne {x_0}$，则称 ${x_0}$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的二阶周期点，如果 $f\left( x \right)$ 有两个二阶周期点 ${x_1},{x_2}$，试确定 $a$ 的取值范围．

3、对于 $(2)$ 中的 ${x_1},{x_2}$ 和 $a$，设 ${x_3}$ 为函数 $f\left( {f\left( x \right)} \right)$ 的最大值点，$A\left( {{x_1},f\left( {f\left( {x_1} \right)} \right)} \right)$，$B\left( {{x_2},f\left( {f\left( {x_2} \right)} \right)} \right)$，$C\left( {{x_3},0} \right)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S\left( a \right)$，讨论 $S\left( a \right)$ 的单调性．

解析

1、由函数的对称性知，就是要证明 $f\left( \dfrac{1}{2}+x \right)=f\left( \dfrac{1}{2}-x \right)$．因为

$$f\left( \dfrac{1}{2}+x \right)=a\left( 1-2 \left|x \right| \right)=f\left( \dfrac{1}{2}-x \right) ,$$ 所以函数 $f\left( x \right)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 对称．

2、方程 $f(f(x))=x$ 的解即曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $x=f(y)$ 的公共点横坐标，而二阶周期点为这些公共点中不在直线 $y=x$ 上的公共点的横坐标．如图，讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．

由于

$$f(x)=\begin{cases} 2ax,&x\in\left(-\infty,\dfrac 12\right],\\ -2ax+2a,&x\in\left(\dfrac 12,+\infty\right),\end{cases}$$ 因此表达函数 $f\left(x\right)$ 的不含绝对值的关系式时，需要让 $x$ 和 $\dfrac 12$ 比较大小．

情形一    当 $0<a\leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，有

$$f\left( f\left( x \right) \right)= \begin{cases} 4{{a}^{2}}x,&x\in\left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right], \\ 4{{a}^{2}}\left( 1-x \right),&x\in \left(\dfrac{1}{2}, +\infty\right). \\ \end{cases}$$

情形二    当 $a>\dfrac{1}{2}$ 时，有

$$f\left( f\left( x \right) \right)=\begin{cases} 4{{a}^{2}}x,&x\in\left(-\infty, \dfrac{1}{4a}\right], \\ 2a-4{{a}^{2}}x,&x\in\left(\dfrac{1}{4a},\dfrac{1}{2}\right], \\ 2a\left( 1-2a \right)+4{{a}^{2}}x,&x\in\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{4a-1}{4a}\right], \\ 4{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}x,&x \in\left( \dfrac{4a-1}{4a},+\infty\right). \\ \end{cases}$$

因此方程 $f(f(x))=x$ 的解集为

$$\begin{cases} \left\{0\right\},&a\in\left(0,\dfrac 12\right),\\ \left(-\infty,\dfrac 12\right],&a=\dfrac 12,\\ \left\{0,\dfrac{2a}{1+2a},\dfrac{2a}{1+4a^2},\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\right\},&a\in\left(\dfrac 12,+\infty\right),\end{cases}$$ 而方程 $f(x)=x$ 的解集是 $$\begin{cases} \left\{0,\right\},&a\in\left(0,\dfrac 12\right),\\ \left(-\infty,\dfrac 12\right],&a=\dfrac 12,\\ \left\{0,\dfrac{2a}{1+2a}\right\},&a\in\left(\dfrac 12,+\infty\right),\end{cases}$$ 因此 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．