每日一题[2736]拦腰斩断

已知六位数 $\overline{abcdef}$，满足 $$\dfrac{\overline{abcdef}}{\overline{def}}=\left(1+\overline{abc}\right)^{2},$$ 则所有满足条件的六位数的个数为(       )

（$\overline{def}$ 不必为三位数）

A．$3$

B．$4$

C．$5$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    设 $x=100a+10b+c$，$y=100b+10e+f$，则 $$\dfrac{1000x+y}{y}=(1+x)^2\iff x+2=\dfrac{1000}y,$$ 其中 $100\leqslant x\leqslant 999$，$1\leqslant y\leqslant 999$．由于 $x+2\geqslant 102$，于是 $y=1,2,4,5,8$，满足条件的六位数共有 $5$ 个．