每日一题[2732]剥丝抽茧

已知正整数 $n$ 不超过 $2022$ 且满足 $100$ 整除 $2^{n}+n$，则这样的 $n$ 的个数为（       ）

A．$19$

B．$20$

C．$21$

D．前三个答案都不对

答案    B．

解析    根据题意，有 $4\mid 2^n+n$ 且 $25\mid 2^n+n$．显然 $n\geqslant 2$，于是 $4\mid 2^n$，因此 $4\mid n$，设 $n=4m$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），所以问题简化为 $$25\mid 2^{4m}+4m,$$ 注意到 $2^4\equiv 1\pmod 5$，于是 $4m\equiv 4\pmod 5$，设 $m=5t+1$（$t\in\mathbb N$），问题简化为 $$25\mid 2^{20t+4}+20t+4,$$ 由于 $2^{10}=1024\equiv -1\pmod {25}$，因此 $2^{20}\equiv 1\pmod {25}$，进而 $$20t\equiv 5\pmod {25}\iff 4t\equiv 1\pmod 5,$$ 因此 $t=5s+4$（$s\in\mathbb N$）．这样就有 $$n=4m=20t+4=100s+84,$$ 因此满足题意的 $n$ 共有 $20$ 个．