每日一题[2731]四叶玫瑰

曲线 $C:\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=16 x^{2} y^{2}$ （       ）

A．曲线 $C$ 仅过 $(0,0)$ 一个整点

B．曲线 $C$ 上的点距原点最大距离为 $2$

C．曲线 $C$ 围成的图形面积大于 $4 \pi$

D．曲线 $C$ 为轴对称图形

答案    ABD．

解析    曲线 $C$ 的极坐标方程为 $$\rho = 2\sin2\theta,$$ 因此选项 $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确，选项 $\boxed{C}$ 错误．对于选项 $\boxed{A}$，考虑圆 $x^2+y^2=4$ 内部（包括边界）的整点验证即可知命题正确． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确．

备注    当 $\rho,\theta\in \mathbb{R}$ 时，由对称性可知，极坐标方程 $\rho=2\sin{2\theta}$ 与 $\rho=-2\sin{2\theta}$ 表示同样的曲线．曲线 $C$ 的图象是四叶玫瑰线．