每日一题[2657]大力出奇迹

已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，过点 $(m, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点．

1、当 $k=2$ 且 $p=2 m$ 时，$|A B|=15$，求抛物线 $C$ 的方程．

2、已知横坐标为 $-\dfrac{p}{2}$ 的点 $D$ 在直线 $l$ 上，若对任意正数 $m$，$\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=|F D|^{2} \cdot \cos \angle A F B$ 恒成立，求 $k$ 的值．

解析

1、根据题意，有 $C:y^2=4mx$，且 $l:x=\dfrac 12y+m$，联立可得

$$y^2-2my-4m^2=0,$$ 于是 $$|AB|=\sqrt{1+\left(\dfrac12\right)^2}\cdot 2\sqrt{5}|m|=5|m|,$$ 因此 $m=3$，进而 $p=6$，抛物线的方程为 $y^2=12x$．

2、．设 $A(2pa^2,2pa)$，$B(2pb^2,2pb)$，则

$$AB:x=(a+b)y-2pab,$$ 进而 $m=-2pab$，$k=-\dfrac{1}{a+b}$，于是 $D\left(-\dfrac p2,\dfrac{p(4ab-1)}{2(a+b)}\right)$．由 $$\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=|F D|^{2} \cdot \cos \angle A F B$$ 可得 $|FA|\cdot |FB|=|FD|^2$，于是 $$\left(2pa^2+\dfrac p2\right)\cdot \left(2pb^2+\dfrac p2\right)=p^2+\left(\dfrac{p(4ab-1)}{2(a+b)}\right)^2,$$ 即 $$4p^2a^2b^2+p^2(a^2+b^2)+\dfrac {p^2}4=1+\dfrac{1}{(a+b)^2}\left(2pab-\dfrac p2\right)^2,$$ 也即 $$m^2+p^2\left(\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{m}{p}\right)+\dfrac{p^2}4=p^2+k^2\left(m-\dfrac p2\right)^2,$$ 整理可得 $$(k^2-1)\left(\left(m+\dfrac p2\right)^2+\dfrac{p^2}{k^2}\right)=0,$$ 该等式对任意正数 $m$ 成立，因此 $k=\pm 1$．