每日一题[2656]范围估计

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\dfrac{1}{2} x^{2}+a x$．

1、若 $a=-1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $a \in[0,1]$，求证：$32 f(x)>-7$． 参考数据：$\ln 3 \approx 1.099$，$\ln 4 \approx 1.386$．

解析

1、当 $a=-1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x+x-1,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

2、当 $x\leqslant 0$ 时，命题显然成立；当 $x>0$ 时，有 $$f(x)>{\rm e}^x+\dfrac 12x^2+x,$$ 设右侧函数为 $g(x)$，函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)={\rm e}^x+x+1,$$ 因此 $g'(x)$ 在 $\mathbb R$ 上有唯一零点，记为 $m$，此时 $f(x)$ 在 $(-\infty,m)$ 上单调递减，在 $(m,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=m$ 处取得最小值 $$g(m)={\rm e}^m+\dfrac 12m^2+m,$$ 其中 ${\rm e}^m+m+1=0$．于是 $${\rm e}^m+\dfrac 12m^2+m=\dfrac12m^2-1.$$ 而 $$\dfrac 12m^2-1>-\dfrac7{32}\impliedby m<-\dfrac 54,$$ 因此只需要证明 $${\rm e}^{-\frac 54}+\left(-\dfrac 54\right)+1>0\impliedby -\dfrac 54>\ln\dfrac 14\impliedby \ln 4>1.25,$$ 这显然成立，因此命题得证．