每日一题[2633]三面角

如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp A B$，且 $P D=P B$，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形，$\angle B A D=\dfrac{\pi}{3}$．

1、证明：平面 $P A C \perp A B C D$．

2、若 $P A \perp P C$，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

解析

1、连接 $D B$ 交 $A C$ 于点 $O$，连接 $P O$，如图．

因为 $A B C D$ 是菱形，所以 $B D \perp A C$，且 $O$ 为 $B D$ 的中点．因为 $P B=P D$，所以 $P O \perp B D$．又因为 $A C, P O \subset A P C$，且 $A C \cap P O=O$，所以 $B D \perp A P C$．又 $B D \subset A B C D$，所以，平面 $A P C \perp A B C D$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $P$ 在 $ABCD$ 上的投影 $H$ 在 $AC$ 上，又 $PD\perp AB$，于是 $PH\perp AB$，于是 $H$ 是正三角形 $ABD$ 的中心，进而可得 $PA=PB=PD=2$，而 $PO=AO=\sqrt 3$，$PC=2\sqrt 2$，于是三面角 $B-APC$ 中有

$$\angle ABP=60^\circ,\quad \angle PBC=90^\circ,\quad \angle ABC=120^\circ,$$ 进而根据三射线定理，二面角 $A-PB-C$ 的平面角 $\theta$ 满足 $$\cos\angle ABC=\cos\angle ABP\cos\angle CBP+\sin\angle ABP\sin\angle CBP\cdot \cos\theta,$$ 即 $$-\dfrac 12=\dfrac 12\cdot 0+\dfrac{\sqrt 3}2\cdot 1\cdot\cos\theta\iff \cos\theta=-\dfrac{\sqrt 3}3,$$ 因此平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．