每日一题[2628]公切与零点

已知函数 $f(x)=2+\ln x$，$g(x)=a \sqrt{x}$，若总存在两条不同的直线与函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 图象均相切，则实数 $a$ 的取值范围为（       ）

 A．$(0,1)$

B．$(0,2)$

C．$(1,2)$

D．$(1, \mathrm{e})$

答案    B．

解析    设与函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 图象均相切的直线与函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 图象分别相切于点 $(x_1,f(x_1)$ 和 $(x_2,g(x_2))$，则

$$\begin{cases} f'(x_1)=g'(x_2),\\ f(x_1)-f'(x_1)x_1=f(x_2)-f'(x_2)x_2,\end{cases}\iff \begin{cases} \dfrac{1}{x_1}=\dfrac{a}{2\sqrt {x_2}},\\ 1+\ln x_1=\dfrac a2\sqrt{x_2},\end{cases}$$ 于是 $a>0$，且 $$\begin{cases} x_2=\dfrac{a^2}4x_1^2,\\ \ln x_1-\dfrac{a^2}4x_1+1=0,\end{cases}$$ 设 $h(x)=\ln x-mx+1$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac 1x-m,$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&\left(0,\dfrac 1m\right)&\dfrac 1m&\left(\dfrac 1m,+\infty\right)&+\infty\\ \hline h(x)&-\infty&\nearrow&-\ln m&\searrow&-\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此方程组有解的等价条件为函数 $h(x)$ 的极大值，也为最大值 $$-\ln m>0\iff 0<m<1\iff 0<\dfrac{a^2}4<1,$$ 从而实数 $a$ 的取值范围是 $(0,2)$．