每日一题[2587]单调研究

已知函数 $f(x)=a(x+\ln x)$，$g(x)=x^2$．

1、当 $a=-2$ 时，求函数 $h(x)=f(x)+g(x)$ 的单调区间．

2、当 $a>0$ 时，若对于区间 $[1,2]$ 上的任意两个不相等的实数 $x_1, x_2$，都有

$$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\left|g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|$$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=-2$ 时，有 $h(x)=-2x-2\ln x+x^2$，则 $h(x)$ 的导函数

$$h'(x)=\dfrac{2x^2-2x-2}{x},$$ 因此函数 $h(x)$ 的单调递增区间 $\left(\dfrac{1+\sqrt 5}2,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$．

2、当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[1,2]$ 上均单调递增，不妨设 $1\leqslant x_1<x_2\leqslant 2$，则题中不等式即

$$f(x_2)-f(x_1)<g(x_2)-g(x_1),$$ 即 $$f(x_2)-g(x_2)<f(x_1)-g(x_1),$$ 因此函数 $p(x)=f(x)-g(x)$ 单调递减，进而 $$\forall x\in [1,2],~a+\dfrac ax-2x\leqslant 0,$$ 即 $$\forall x\in [1,2],~a\leqslant \dfrac{2x^2}{x+1},$$ 也即 $$\forall x\in[1,2],~a\leqslant 2(x+1)+\dfrac{2}{x+1}-4,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1]$．