每日一题[2528]高次不等式

已知 $f(x)=\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}$（$a, b \in \mathbb{R}$）．

1、若 $a=b=1$，解不等式 $f(x)>1$．

2、定义区间 $(m, n),[m, n),(m, n],[m, n]$ 的长度为 $n-m$，若 $a<b$，求 $f(x)>1$ 解集的区间长度或解集的区间长度之和（解集为几个区间的并集时）．

解析

1、当 $a=b=1$ 时，不等式

$$f(x)>1\iff \dfrac{2}{x-1}>1\iff \dfrac{-x+3}{x-1}>0\iff 1<x<3,$$ 因此所求解集为 $(1,3)$．

2、根据题意，不等式

$$f(x)>1\iff \dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}>1\iff \dfrac{x^2-(a+b+2)x+ab+a+b}{(x-a)(x-b)}<0,$$ 设分子部分为 $g(x)$，则 $$g(a)=b-a>0,\quad g(b)=a-b<0,$$ 因此 $g(x)$ 的零点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）满足 $$a<x_1<b<x_2,$$ 故而题中不等式解集为 $(a,x_1)\cup (b,x_2)$，其区间长度之和为 $$(x_1-a)+(x_2-b)=(x_1+x_2)-(a+b)=(a+b+2)-(a+b)=2.$$