每日一题[2513]几何意义

已知 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}=4 y-3$，则 $\dfrac{\sqrt{3} x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的最大值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$\sqrt{3}$

D．$\sqrt{5}$

答案    C．

解析    题中方程 $x^2+y^2=4y-3$，即 $x^2+(y-2)^2=1$，因此 $P(x,y)$ 是圆心为 $A(0,2)$，半径为 $1$ 的圆上的点．记 $O(0,0)$ 为坐标原点，则 $\dfrac{\sqrt 3x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 是向量 $\boldsymbol m=(\sqrt 3,1)$ 在向量 $\overrightarrow{OP}$ 上的投影．注意到 $\boldsymbol m$ 与 $\overrightarrow{OP}$ 的夹角 $\theta$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right]$，因此所求最大值为 $$|\boldsymbol m|\cdot \cos \dfrac{\pi}6=\sqrt 3.$$