每日一题[2490]空间定值

在正 $n$（$n \geqslant 3$）棱锥 $P-A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 中，$O$ 为底面正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的中心，$B$ 为棱 $A_{1} A_{n}$ 的中点．

1、证明：$P O^{2} \sin ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}+P A_{1}^{2} \cos ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}=P B^{2}$．

2、设正 $n$ 棱雉 $P-A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的侧棱与底面所成的角为 $\alpha$，侧面与底面所成的角为 $\beta$，试确 定 $\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \cos \angle A_{i} P B$ 与 $\sin \alpha \cdot \sin \beta$ 的大小关系，并予以证明．

解析

1、由于 $PO$ 与底面垂直，于是

$$\angle POA_1=\angle POB=90^\circ.$$ 设 $OA_1=r$，则 $$OB=OA_1\cdot \cos\angle A_1OB=r\cos\dfrac{\pi}n,$$ 于是有 $$\begin{cases} r^2+PO^2=PA_1^2,\\ r^2\cos^2\dfrac {\pi}n+PO^2=PB^2,\end{cases}\implies PO^2\left(1-\cos^2\dfrac{\pi}n\right)=PB^2-PA_1^2\cos^2\dfrac{\pi}n,$$ 即 $$P O^{2} \sin ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}+P A_{1}^{2} \cos ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}=P B^{2},$$ 命题得证．

2、根据题意，有

$$\begin{split} \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \cos \angle A_{i} P B&=\dfrac 1n\sum_{i=1}^n\dfrac{\overrightarrow{PA_i}\cdot \overrightarrow {PB}}{|PA_i|\cdot |PB|}\\ &=\dfrac 1n\cdot \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(\overrightarrow{OA_i}-\overrightarrow{OP}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\right)}{PA_1\cdot PB}\\ &=\dfrac 1n\cdot \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(OP^2+\overrightarrow{OA_i}\cdot\overrightarrow{OB}\right)}{PA_1\cdot PB}\\ &= \dfrac{OP}{PA_1}\cdot \dfrac{OP}{PB}+\dfrac{\overrightarrow{OB}\cdot \displaystyle\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OA_i}}{n\cdot PA_1\cdot PB}\\ &=\sin\alpha\cdot \sin\beta ,\end{split}$$ 命题得证．