每日一题[2462]不动点与特征根

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=-1$，$a_1=1$，$a_n=-6a_{n-1}-9a_{n-2}-8$，$n\geqslant 2$，则 $a_9=$ _______．

答案    $9841$．

解析    考虑题中递推式的不动点方程

$$x=-6x-9x-8\iff x=-\dfrac 12,$$ 因此设 $b_n=a_n+\dfrac12$，则 $$b_n=-6b_{n-1}-9b_{n-2},$$ 其特征方程为 $$x^2=-6x-9\iff x=-3,$$ 于是 $b_n=(An+B)\cdot (-3)^n$，其中 $A,B$ 为待定系数，满足 $$\begin{cases} b_0=-\dfrac 12,\\ b_1=\dfrac 32,\end{cases}\implies \begin{cases} B=-\dfrac12,\\ (A+B)\cdot (-3)=\dfrac 32,\end{cases} \iff \begin{cases} A=0,\\ B=-\dfrac 12,\end{cases}$$ 因此 $$a_n=\dfrac{-1-(-3)^n}2,$$ 进而 $a_9=\dfrac{-1+3^9}2=\boxed{9841}$．