每日一题[144] 解四边形

2015年高考数学新课标I卷第16题（填空压轴题）：

在平面四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ$，$BC=2$，则$AB$的取值范围是_______．

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 正确答案是$\left(\sqrt 6-\sqrt 2,\sqrt 6+\sqrt 2\right)$．

如图，作底角为$75^\circ$的等腰三角形$NBC$，使$BC=2$，过$C$作直线$CM$交$NB$于$M$，使$\angle BMC=75^\circ$．由图可知$A$在线段$MN$上运动（不包括两个端点）．

在等腰三角形$CBM$中，由

$$BM=4\cos 75^\circ=\sqrt 6-\sqrt 2,$$ 进而由三角形$NBC$与三角形$CBM$相似，有 $$BC^2=BM\cdot BN,$$ 得 $$BN=\sqrt 6+\sqrt 2,$$ 从而$AB$的取值范围是$\left(\sqrt 6-\sqrt 2,\sqrt 6+\sqrt 2\right)$．