每日一题[2442]斜率积性质

已知双曲线 $x^{2}-y^{2}=a^{2}$，左右顶点为 $A, B$，点 $P$ 为双曲线右支上一点，设 $\angle P A B=\alpha$，$\angle P B A=\beta$，$\angle A P B=\gamma$，则（       ）

A．$\tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma=0$

B．$\tan \alpha+\tan \beta-\tan \gamma=0$

C．$\tan \alpha+\tan \beta+2 \tan \gamma=0$

D．$\tan \alpha+\tan \beta-2 \tan \gamma=0$

答案    D．

解析    设 $P(x_0,y_0)$（$x_0>0$），则 $x_0^2-y_0^2=a^2$，从而

$$\tan\alpha\tan\beta=\dfrac{y_0}{x_0+a}\cdot\left(-\dfrac{y_0}{x_0-a}\right)=-1,$$ 从而 $$\tan\gamma=-\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac 12(\tan\alpha+\tan\beta),$$ 从而 $$\tan \alpha+\tan \beta-2 \tan \gamma=0.$$