设正整数 $n \leqslant 2021$,且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数,则可能的 $n$ 的个数为( )
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.以上答案都不对
答案 D.
解析 注意到\[n^{5}-5 n^{3}+4 n+7=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+7,\]而连续的 $5$ 个整数的乘积必然被 $4$ 整除,因此 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 模 $4$ 余 $3$,不可能是完全平方数.
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