设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数，$b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数．记 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$\left\{\dfrac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．以上答案都不对
答案 A．
解析 容易证明 $\sqrt{\dfrac n2}$ 的小数部分不可能为 $0.5$，因此\[a_n=k\iff k-\dfrac 12<\sqrt{\dfrac n2}<k+\dfrac 12,\]整理可得\[2k^2-2k+\dfrac 12<n<2k^2+2k+\dfrac 12\iff 2k(k-1)+1\leqslant n\leqslant 2k(k+1),\]注意到 $k=6$ 时，$2k(k+1)=84$，因此\[S_{100}=\sum_{k=1}^6\left(\dfrac 1k\cdot 4k\right)+\dfrac 17\cdot (100-84)=26\dfrac 27.\]类似的，有\[b_n=k\iff k-\dfrac 12<\sqrt{2n}<k+\dfrac 12,\]整理可得\[\dfrac{k(k-1)}2+\dfrac 18<n<\dfrac{k(k+1)}2+\dfrac 18\iff \dfrac{k(k-1)}2+1\leqslant n\leqslant \dfrac{k(k+1)}2,\]注意到 $k=13$ 时，$2k(k+1)=91$，因此\[S_{100}=\sum_{k=1}^{13}\left(\dfrac 1k\cdot k\right)+\dfrac 1{14}\cdot (100-91)=13\dfrac 9{14}.\]综上所述，有 $2T_{100}-S_{100}=1$．