每日一题[2435]分类计数

设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数，$b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数．记 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$\left\{\dfrac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    容易证明 $\sqrt{\dfrac n2}$ 的小数部分不可能为 $0.5$，因此 $$a_n=k\iff k-\dfrac 12<\sqrt{\dfrac n2}<k+\dfrac 12,$$ 整理可得 $$2k^2-2k+\dfrac 12<n<2k^2+2k+\dfrac 12\iff 2k(k-1)+1\leqslant n\leqslant 2k(k+1),$$ 注意到 $k=6$ 时，$2k(k+1)=84$，因此 $$S_{100}=\sum_{k=1}^6\left(\dfrac 1k\cdot 4k\right)+\dfrac 17\cdot (100-84)=26\dfrac 27.$$ 类似的，有 $$b_n=k\iff k-\dfrac 12<\sqrt{2n}<k+\dfrac 12,$$ 整理可得 $$\dfrac{k(k-1)}2+\dfrac 18<n<\dfrac{k(k+1)}2+\dfrac 18\iff \dfrac{k(k-1)}2+1\leqslant n\leqslant \dfrac{k(k+1)}2,$$ 注意到 $k=13$ 时，$2k(k+1)=91$，因此 $$S_{100}=\sum_{k=1}^{13}\left(\dfrac 1k\cdot k\right)+\dfrac 1{14}\cdot (100-91)=13\dfrac 9{14}.$$ 综上所述，有 $2T_{100}-S_{100}=1$．