每日一题[2425]寻找二

已知 $C_n$ 是 $\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}$ 的整数部分，求证：$C_n+1\mid 2^{n+1}$．

解析    根据题意，有 $$C_n=\left[\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}\right]=\left[\left(4+2\sqrt 3\right)^n\right],$$ 而 $$\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}+\left(\sqrt 3-1\right)^{2n}\in\mathbb Z,$$ 于是 $$\begin{split} C_n+1&=\left(4+2\sqrt 3\right)^n+\left(4-2\sqrt 3\right)^n\\ &=2\sum_{k=0}^{\left[\dfrac n 2 \right]}\dbinom{n}{2k}\cdot 4^{n-2k}\cdot \left(2\sqrt 3\right)^{2k}\\ &=2^{n+1}\sum_{k=0}^{\left[\dfrac n 2 \right]}\dbinom{n}{2k}\cdot 2^{n-2k}\cdot 3^k,\end{split}$$ 因此 $C_n+1\mid 2^{n+1}$，命题得证．