每日一题[2366]一题四吃

在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$，其中 $\lambda \in[0,1]$，$\mu \in[0,1]$，则（       ）

A．当 $\lambda=1$ 时，$\triangle A B_{1} P$ 的周长为定值

B．当 $\mu=1$ 时，三棱雉 $P-A_{1} B C$ 的体积为定值

C．当 $\lambda=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1} P \perp B P$

D．当 $\mu=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1} B \perp$ 平面 $A B_{1} P$

答案    BD．

解析

选项 $\boxed{A}$，当 $\lambda=1$ 时，点 $P$ 在线段 $CC_1$ 上运动（包含端点），将侧面 $ACC_1A_1$ 沿 $CC_1$ 翻折到与 $BCC_1B_1$ 共面，可得 $|B_1P|+|PA|$ 不为定值，因此 $\triangle AB_1P$ 的周长不为定值，选项错误．

选项 $\boxed{B}$，当 $\mu=1$ 时，点 $P$ 在线段 $B_1C_1$ 上运动（包含端点），此时点 $A_1$ 到平面 $PBC$ 的距离以及 $\triangle PBC$ 的面积均为定值，因此三棱锥 $P-A_1BC$ 的体积为定值．

选项 $\boxed{C}$，当 $\lambda=\dfrac 12$ 时，点 $P$ 在线段 $MN$ 上运动（包含端点），其中 $M,N$ 分别为 $BC,B_1C_1$ 的中点．设 $A_1B$ 的中点为 $O$，则

$$|OM|=|ON|=\dfrac{\sqrt 2}2,\quad |MN|=1,$$ 而以 $A_1B$ 为直径的球面的半径为 $\dfrac 12|A_1B|=\dfrac{\sqrt 2}2$，因此线段 $MN$ 与该球面有两个交点，恰为 $M,N$，选项错误．

选项 $\boxed{D}$，当 $\mu=\dfrac 12$ 时，点 $P$ 在线段 $MN$ 上运动（包含端点），其中 $M,N$ 分别为 $BB_1,CC_1$ 的中点．此时 $A_1B\perp AB_1$，作 $B_1C_1$ 的中点 $O$，则 $BA_1$ 在平面 $BCC_1B_1$ 上的投影为 $BO$，因此当且仅当 $B_1P\perp BO$ 时（此时 $P$ 恰好为 $N$），有 $A_1B\perp AB_1P$．因此选项正确．