每日一题[2269]恐怖计算

已知抛物线 $C_{1}:y^{2}=10 x$，圆 $C_{2}:(x-4)^{2}+y^{2}=1$．设 $M$ 为抛物线 $C_{1}$ 上异于原点的一点，过 $M$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，$A,B$ 为切点，此两条切线与抛物线 $C_{1}$ 分别交于 $D,C$ 两点．若四边形 $ABCD$ 为梯形，求点 $M$ 的坐标．

答案    $M\left(\dfrac{311}{68},\pm \sqrt{\dfrac{3110}{68}}\right)$．

解析    设 $M\left(10 t^{2},10 t\right)$，$C\left(10 m^{2},10 m\right)$，则直线 $MC$ 的方程为

$$l_{M C}:\dfrac{y-10 t}{10 m-10 t}=\dfrac{x-10 t^{2}}{10 m^{2}-10 t^{2}}\iff x-(m+t)y+10 m t=0.$$ 又圆 $C_{2}$ 与直线 $MC$ 相切，即圆 $C_{2}$ 的圆心 $O$ 到 $l_{M C}$ 的距离为 $1$．则 $$\dfrac{|4+10 m t |}{\sqrt{1+(m+t)^{2}}}=1\iff \left(100 t^{2}-1\right) m^{2}+78 t m+\left(15-t^{2}\right)=0.$$ 类似地，设 $D\left(10 n^{2},10 n\right)$，则 $$\left(100 t^{2}-1\right)n^{2}+78 t n+\left(15-t^{2}\right)=0.$$ 于是 $m,n$ 为方程 $\left(100 t^{2}-1\right)u^{2}+78 t u+\left(15-t^{2}\right)=0$ 的两个根．故 $$\begin{cases} m+n=-\dfrac{78 t}{100 t^{2}-1},\\ m n=\dfrac{15-t^{2}}{100 t^{2}-1}.\end{cases}$$ 又 $MO\perp AB$，$DC\parallel AB$，则 $M O \perp D C$ 从而 $k_{M O} k_{D C}=-1$，而 $$k_{M O}=\dfrac{t-0}{10 t^{2}-4},$$ 且 $$k_{D C}= \dfrac{10 m-10 n}{10 m^{2}-10 n^{2}}= \dfrac{1}{m+n}= \dfrac{100 t^{2}-1}{-78 t}.$$ 因此 $$\dfrac{t-0}{10 t^{2}-4} \cdot \frac{100 t^{2}-1}{-78 t}=-1\implies t=\pm \sqrt{\frac{311}{680}}\implies M\left(\frac{311}{68},\pm \sqrt{\frac{3110}{68}}\right).$$