已知抛物线 $ C_{1}:y^{2}=10 x $，圆 $ C_{2}:(x-4)^{2}+y^{2}=1 $．设 $ M $ 为抛物线 $ C_{1} $ 上异于原点的一点，过 $ M $ 作圆 $ C_{2} $ 的两条切线，$ A,B $ 为切点，此两条切线与抛物线 $ C_{1} $ 分别交于 $ D,C $ 两点．若四边形 $ ABCD $ 为梯形，求点 $ M $ 的坐标．
答案 $ M\left(\dfrac{311}{68},\pm \sqrt{\dfrac{3110}{68}}\right) $．
解析 设 $ M\left(10 t^{2},10 t\right)$，$C\left(10 m^{2},10 m\right) $，则直线 $MC$ 的方程为\[ l_{M C}:\dfrac{y-10 t}{10 m-10 t}=\dfrac{x-10 t^{2}}{10 m^{2}-10 t^{2}}\iff x-(m+t)y+10 m t=0. \] 又圆 $ C_{2} $ 与直线 $ MC $ 相切，即圆 $ C_{2} $ 的圆心 $ O $ 到 $ l_{M C} $ 的距离为 $ 1 $．则\[ \dfrac{|4+10 m t |}{\sqrt{1+(m+t)^{2}}}=1\iff \left(100 t^{2}-1\right) m^{2}+78 t m+\left(15-t^{2}\right)=0. \] 类似地，设 $ D\left(10 n^{2},10 n\right) $，则 \[ \left(100 t^{2}-1\right)n^{2}+78 t n+\left(15-t^{2}\right)=0. \]于是 $ m,n $ 为方程 $ \left(100 t^{2}-1\right)u^{2}+78 t u+\left(15-t^{2}\right)=0 $ 的两个根．故\[\begin{cases} m+n=-\dfrac{78 t}{100 t^{2}-1},\\ m n=\dfrac{15-t^{2}}{100 t^{2}-1}.\end{cases}\]又 $ MO\perp AB$，$DC\parallel AB $，则 $M O \perp D C$ 从而 $k_{M O} k_{D C}=-1$，而\[k_{M O}=\dfrac{t-0}{10 t^{2}-4}, \]且 \[ k_{D C}= \dfrac{10 m-10 n}{10 m^{2}-10 n^{2}}= \dfrac{1}{m+n}= \dfrac{100 t^{2}-1}{-78 t}. \]因此\[ \dfrac{t-0}{10 t^{2}-4} \cdot \frac{100 t^{2}-1}{-78 t}=-1\implies t=\pm \sqrt{\frac{311}{680}}\implies M\left(\frac{311}{68},\pm \sqrt{\frac{3110}{68}}\right). \]