已知函数 f(x)=(a−x)exlnx.
1、若 f(x)⩽0 恒成立,求 a.
2、证明:f(x)<xa.
解析
1、题中不等式即(a−x)exlnx⩽0⟺(x−a)⋅lnx⩾0⟺x⩽min{1,a}∨x⩾max{1,a},因此 a=1.
2、当 x=1 时,不等式显然成立,当 x≠1 时,即证明(x−a)exlnx+xa>0.将不等式左边看为参数为 x,关于 a 的函数 g(a),则g′(a)=−exlnx+lnx⋅xa=(xa−ex)lnx,因此 g(a) 的极小值点为 a=xlnx,从而 g(a) 的极小值为(x−xlnx)exlnx+ex=ex⋅x⋅(lnx−1+1x)>0,其中用到了基本放缩 lnx⩽x−1(令 x→1x).