每日一题[2268]反客为主

已知函数 f(x)=(ax)exlnx

1、若 f(x)0 恒成立,求 a

2、证明:f(x)<xa

解析

1、题中不等式即(ax)exlnx0(xa)lnx0xmin{1,a}xmax{1,a},因此 a=1

2、当 x=1 时,不等式显然成立,当 x1 时,即证明(xa)exlnx+xa>0.将不等式左边看为参数为 x,关于 a 的函数 g(a),则g(a)=exlnx+lnxxa=(xaex)lnx,因此 g(a) 的极小值点为 a=xlnx,从而 g(a) 的极小值为(xxlnx)exlnx+ex=exx(lnx1+1x)>0,其中用到了基本放缩 lnxx1(令 x1x).

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