每日一题[2256]擦身而过

已知函数 $f(x)=\begin{cases} \cos\dfrac{\pi x}2-1,&x\geqslant 0,\\ -{\log_a}(-x),&x<0,\end{cases}$（$a>0$ 且 $a \neq 1$），使得函数图象上关于原点对称的点至少有 $3$ 对的充分条件是（       ）

A．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)$

B．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right)$

C．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$

D．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, 1\right)$

答案    A．

解析    根据题意，方程 $$\cos\dfrac{\pi x}2-1={\log_a}x$$ 至少有 $3$ 个实根，如图．

当 $a=\dfrac{\sqrt 6}6$ 时，函数 $y={\log_a}x$ 的图象过点 $(6,-2)$；当 $a=\dfrac{\sqrt 5}5$ 时，函数 $y={\log_a}x$ 的图象过点 $(5,-2)$． 先证明当 $x\in\left(0,\dfrac{\sqrt 6}6\right)$ 时符合题意，设 $g(x)={\log_a}x+1-\cos\dfrac{\pi x}2$，则 $$g(2)={\log_a}2+2>0,\quad g(4)={\log_a}4<0,\quad g(6)={\log_a}6+2>0,\quad g(8)={\log_a}8<0,$$ 因此 $g(x)$ 至少有三个零点，符合题意． 接下来证明当 $a=\dfrac{\sqrt 5}5$ 时不符合题意．在区间 $x\in [2,4]$ 上，函数 $g(x)$ 单调递减，因此只有一个零点，在区间 $[4,5]$ 上，有 $$\cos\dfrac{\pi x}2-1\geqslant -1>{\log_a}x,$$ 在区间 $(5,+\infty)$ 上，有 $$\cos\dfrac{\pi x}2-1\geqslant -2>{\log_a}x,$$ 因此函数 $g(x)$ 只有一个零点，不符合题意． 易得当 $a$ 在 $\dfrac{\sqrt 5}5$ 的左邻域时也不符合题意，因此只有选项 $\boxed{A}$ 正确．