每日一题[2251]韦达定理

已知实数 $a,b,c$ 均不等于 $0$，且 $a+b+c=m$，$a^2+b^2+c^2=\dfrac{m^2}2$，求 $\dfrac{a(m-2a)^2+b(m-2b)^2+c(m-2c)^2}{abc}$ 的值．

答案    $12$．

解析    设 $a,b,c$ 是关于 $t$ 的三次方程的三个根，由于

$$ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}2=\dfrac {m^2}4,$$ 于是根据三次方程的韦达定理，有 $$t^3-mt^2+\dfrac{m^2}4t-abc=0\iff 4abc=t(m-2t)^2,$$ 因此 $$a(m-2a)^2=b(m-2b)^2=c(m-2c)^2=4abc,$$ 从而所求代数式的值为 $12$．