每日一题[2241]合理估计

若一个 $2020$ 位数可以写成两个 $1010$ 位数的积，则称为 $A$ 型，否则称为 $B$ 型，则 $A$ 型数和 $B$ 型数中个数较多的是_______型数．

答案    $B$．

解析    设一个 $2n$ 位数可以写成两个 $n$ 位数的积称为 $A$ 型，否则称为 $B$ 型，$A$ 型数个数为 $n_A$，$B$ 型数个数为 $n_B$． 一方面，有 $n_A+n_B$ 为所有 $2n$ 位数的个数，因此 $$n_A+n_B=9\cdot 10^{2n-1}.$$ 另一方面，设 $A$ 型数 $p=ab$，其中 $a,b$ 均为 $n$ 位数，且 $a\leqslant b$，则 $$n_A<\dbinom{9\cdot 10^{n-1}}{2}<4.5\cdot {10}^{2n-1}.$$ 因此 $$n_A<9\cdot 10^{2n-1}-n_A=n_B,$$ 所以$B$型数个数较多．