每日一题[2189]保平方与保立方

已知 $b$ 是小于 $1000$ 的正整数，且在 $b$ 进制下 $36$ 是一个平方数且 $27$ 是一个立方数，则所有满足条件的 $b$ 之和为_______．

答案    $371$

解析    根据题意，存在正整数 $j,k$ 使得

$$\begin{cases} 3b+6=j^2,\\ 2b+7=k^3,\end{cases}$$ 由于 $3b+6$ 是 $3$ 的倍数且为完全平方数，因此 $9\mid 3b+6$，于是 $b\equiv 1\pmod 3$．又完全立方数模 $9$ 的余数为 $0,1,8$，因此 $$2b+7\equiv 0,1,8\pmod 9\iff b\equiv 1,6,5\equiv 9,$$ 综上可得 $b\equiv 1\pmod 9$．因此 $k^3=2b+7$ 是 $9$ 的奇数倍，因此 $k$ 是 $3$ 的奇数倍．考虑到 $b<1000$，于是 $k=3,9$，经验证有 $$(k,j,b)=(3,6,10),(9,33,361),$$ 因此所求和为 $10+361=371$．