已知\(a,b,c\in\mathcal R\)，函数\(f(x)=ax^2+bx+c,-1\leqslant x\leqslant 1\)，函数\(g(x)=ax+b,-1\leqslant x\leqslant 1\)．求证：若\(\left|f(x)\right|\leqslant 1\)恒成立，则\(\left|g(x)\right|\leqslant 2\)恒成立．
证明 注意到\[g(x)=f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)-f\left(\dfrac{x-1}{2}\right),\]于是\[\left|g(x)\right|\leqslant \left|f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\right|+\left|f\left(\dfrac{x-1}{2}\right)\right|\leqslant 2.\]