每日一题[138] 言简意赅

已知$a,b,c\in\mathcal R$，函数$f(x)=ax^2+bx+c,-1\leqslant x\leqslant 1$，函数$g(x)=ax+b,-1\leqslant x\leqslant 1$．求证：若$\left|f(x)\right|\leqslant 1$恒成立，则$\left|g(x)\right|\leqslant 2$恒成立．

---

证明    注意到

$$g(x)=f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)-f\left(\dfrac{x-1}{2}\right),$$ 于是 $$\left|g(x)\right|\leqslant \left|f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\right|+\left|f\left(\dfrac{x-1}{2}\right)\right|\leqslant 2.$$