已知 $f(z)=z^2-19z$，复数 $z,f(z),f(f(z))$ 在复平面上对应的点为直角三角形的三个顶点，且 $f(z)$ 对应的点为直角顶点，$z$ 的最简形式为 $m+\sqrt n+11{\rm i}$（$m,n$ 均为正整数），则 $m+n=$_______．
答案 $230$．
解析 根据题意，有\[\begin{split} \frac{f(f(z))-f(z)}{f(z)-z} &=\frac{\left(z^{2}-19 z\right)^{2}-19\left(z^{2}-19 z\right)-\left(z^{2}-19 z\right)}{\left(z^{2}-19 z\right)-z} \\ &=\frac{\left(z^{2}-19 z\right)\left(z^{2}-19 z-19-1\right)}{z^{2}-20 z} \\ &=\frac{z(z-19)(z+1)(z-20)}{z(z-20)} \\ &=z^{2}-18 z-19\end{split} \]为纯虚数，因此\[(m^2+n+2m\sqrt n-121)-18(m+\sqrt n)-19=0,\]解得 $m=9$，$n=221$，从而 $m+n=230$．