每日一题[2143]杀机四伏

若一个正整数 $n$ 可以写作构成等差数列的 $p$ 个不同正整数的和，就称 $n$ 是“$p-$ 可差数"；若一个正整数 $n$ 可以写作构成等比数列的 $q$ 个不同正整数的和，就称 $n$ 是“$q$ 可比数”．下列说法正确的有（       ）

A．$2020$ 是 $101-$ 可差数

B．$2019$ 是 $3 -$ 可比数

C．存在 $p_{1}>5$，使得 $ 2019$ 是 $p_{1}-$ 可差数

D．不存在奇数 $q_{1} \geqslant 3,$ 使得 $2020$ 是 $q_{1}-$ 可比数

答案    BCD．

解析    若 $2020$ 是 $101-$ 可差数，那么对应等差数列的等差中项为 $20$，这与正整数条件矛盾，选项 $\boxed{A}$ 错误．

若 $2019$ 是 $3-$ 可比数，那么有\[am^2+amn+an^2=2019,\]其中 $a,m,n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $(m,n)=1$，$m<n$，则\[\begin{cases} a=3,\\ m^2+mn+n^2=673,\end{cases} \lor \begin{cases} a=1,\\ m^2+mn+n^2=2019,\end{cases}\]有正整数解 $(a,m,n)=(3,8,21),(1,13,37)$，选项 $\boxed{B}$ 正确．

考虑到 $2019=3\cdot 673$，与之前的分析类似，若 $2019$ 为 $p-$ 可差数，那么 $p$ 只能为 $3,6$，经验证 $2019$ 为 $6-$ 可差数（首项为 $4$，公差为 $133$ 即可），因此 $\boxed{C}$ 正确．

注意到 $2020=2^2\cdot 5\cdot 101$，与之前的分析类似，不小于 $3$ 的奇数 $q_1$ 只可能为 $3,5,7,9,11$，经讨论不存在奇数 $q_{1} \geqslant 3,$ 使得 $2020$ 是 $q_{1}-$ 可比数，选项 $\boxed{D}$ 正确．

备注    选项 $\boxed{B}$ 和 $\boxed{D}$ 是通过计算机编程得到的．