『3758108』设正实数 x,y,z 满足 x3+y3+z3=5xyz，求f=(x+y+z)(1x+1y+1z)的最大值与最小值．
解法一（post by tzy）
不妨设 p=x+y+z=1，q=xy+yz+zx，r=xyz，则由x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)可得2r=1−3q⟺q=1−2r3.而由 (x−y)2(y−z)2(z−x)2⩾0，可得∑cyc(x4y2+x2y4+2x3y2z+2x2y3z−2x3y3−2x4yz−2x2y2z2),也即(p2q2−2q3+4pqr−3r2−2p3r)+2r(pq−3r)−2(q3−3pqr+3r2)−2r(p3−3pq+3r)−6r2⩾0,也即p2q2−4q3−4p3r+18pqr−27r2⩾0,将 p=1，q=1−2r3 代入，可得−1+66r−1089r2+32r3⩾0⟺17−12√2⩽r⩽132,而原式f=13r−23,于是当 r=17−12√2，即 (x,y,z)=(√2−1,√2−1,3−2√2)cyc 时，f 取得最大值 5+4√2；当 r=132，即 (x,y,z)=(14,14,12)cyc 时 f 取得最小值 10．
解法二（post by louxin2020）
不妨设 x+y+z=1，x,y,z∈(0,1)，则x3+y3+z3=5xyz⟺(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=2xyz,即1−3(xy+(1−z)z)=2xyz⟺xy=3z2−3z+13+2z,又xy⩽(x+y2)2=(1−z)24,于是3z2−3z+13+2z⩽(1−z)24⟺2z3−13z2+8z−1⩾0,即(z−12)(z−(3−2√2))(z−(3+2√2))⩾0,又 z∈(0,1)，从而 3−2√2⩽z⩽12．而f=1x+1y+1z=xy+yz+zxxyz=1−2xyz3xyz=13(1xyz−2),于是设 g=1xyz，则g(z)=3+2zz(3z2−3z+1),进而g′z=−3(4z−1)(z−(√2−1))(z−(−√2−1))z2(1−3z+3z2)2,从而 g(z) 在 z∈[3−2√2,14] 上单调递增，在 [√2−1,12] 上单调递减，而g(3−2√2)=17+12√2,g(√2−1)=17+12√2,g(14)=32,因此可得当 z=3−2√2 或 √2−1 时，即 (x,y,z)=(√2−1,√2−1,3−2√2)cyc 时，f 取得最大值为 5+4√2；当 z=14 时，即 (x,y,z)=(14,14,12)cyc 时，f 取得最小值为 10．
不妨设x+y+z=1.xyz=r. \\
则条件等价于xy+yz+zx= \frac{1-2r}{3}\\
于是r< \frac{1}{2}\\
又(x-y)^2 (y-z)^2 (z-x)^2 \geq 0,整理得\\
\frac{1}{32} \leq r \leq 17+12 \sqrt{2}. \\
于是\frac{1}{32} \leq r < \frac{1}{2}.\\
而原式= \frac{1}{3r} - \frac{2}{3}\\
于是原式的范围为(0,10]
之前的答案有误.不妨设x+y+z=1.xyz=r.则条件等价于xy+yz+zx=1−2r3又(x−y)2(y−z)2(z−x)2≥0,整理得132≥r≥17−12√2.而原式=13r−23于是原式的范围为[10,5+4√2]x=y=1/4,z=1/2时原式=10x=y=√2−1,z=3−2√2时原式=5+4√2(新答案依然可能有误,欢迎指正.)
完美解决~