题拍拍征解问题[8]（已解决）

『3218769』已知正实数 $a,b,c,d$ 满足 $$ab+bc+cd+da+ac+bd=6,$$ 求证： $$a+b+c+d\geqslant 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd},$$ 并指出等号取得的条件．

by 琪琪（郑小彬）：

原不等式等价于证明

等价命题    已知 $a,b,c,d>0$ 且 $a+b+c+d=4$，求证： $$\dfrac{2\sum_{\rm sym}ab}{3abcd}+12-\dfrac{96}{\sum_{\rm sym}ab}\geqslant 0.$$

不妨设 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$，不等式左侧为 $f(a,b,c,d)$，则 $$\begin{split} &\quad f(a,b,c,d)-f\left(a,\dfrac{b+d}2,c,\dfrac{b+d}2\right)\\ &=\dfrac 23\cdot \dfrac{a+c}{abcd(b+d)}+\dfrac{2}{3bd(b+d)^2}-\dfrac{24}{\left((a+c)(b+d)+ac+\dfrac{(b+d)^2}4\right)\sum_{\rm sym}ab}\cdot (b-d)^2\\ &\geqslant \dfrac{10}{3bd(a+c)(b+d)}-\dfrac{24}{\left(\sum_{\rm sym}ab\right)^2}\cdot (b-d)^2,\\ &\geqslant \dfrac{10}{3bd(a+c)(b+d)}-\dfrac{24}{((a+c)(b+d)+2bd)^2}\cdot (b-d)^2\\ &\geqslant \dfrac{(b-d)^2}{3bd(a+c)(b+d)}\\ &\geqslant 0,\end{split}$$ 记 $t=\dfrac{b+c+d}3\leqslant 1$，$a=4-3t$，由 $\tt SMV$ 定理，只需要证明 $$f(4-3t,t,t,t)\geqslant 0,$$ 而 $$\begin{split} f(4-3t,t,t,t)&=\dfrac{4(2-t)}{t^2(4-3t)}+12-\dfrac{16}{t(2-t)}\\ &=\dfrac{4t(3t-2)^2(t-1)^2}{t^2(4-3t)(2-t)}\\ &\geqslant 0,\end{split}$$ 因此题中不等式得证，且等号取得的条件是 $$(a,b,c,d)_{\rm sym}=(t,t,t,t),(3t,t,t,t).$$