每日一题[2073]换元

已知 $0<a<b$，求证：$\dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}>\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}$．

证明    设 $\arctan a=x$，$\arctan b=y$，则 $0<x<y$．题中不等式即

$$\dfrac{y-x}{\tan y-\tan x}>\cos x\cos y\iff y-x>\sin(y-x),$$ 这显然成立，命题得证．