每日一题[2064]小心配平

已知 $\left|\boldsymbol a\right|=\left|\boldsymbol a+2\boldsymbol b\right|=2$，求 $\left|2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right|+\left|\boldsymbol b\right|$ 的最大值．

答案    $\dfrac{8\sqrt 3}3$．

解析    设 $\boldsymbol a+2\boldsymbol b=\boldsymbol c$，则

$$\begin{split} \left|2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right|+\left|\boldsymbol b\right|&=\left| \dfrac 32\boldsymbol a+\dfrac 12\boldsymbol c\right|+\left|- \dfrac 12 \boldsymbol a+\dfrac 12\boldsymbol c\right|\\ &=\sqrt 3\cdot \left|\dfrac{\sqrt 3}2\boldsymbol a+\dfrac{1}{2\sqrt 3}\boldsymbol c\right|+1\cdot \left|-\dfrac 12\boldsymbol a+\dfrac 12\boldsymbol c\right|\\ &\leqslant \sqrt{3+1}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt 3}2\boldsymbol a+\dfrac{1}{2\sqrt 3}\boldsymbol c\right)^2+\left(-\dfrac 12\boldsymbol a+\dfrac 12\boldsymbol c\right)^2}\\ &=2\sqrt{\left|\boldsymbol a\right|^2+\dfrac 13\left|\boldsymbol c\right|^2}\\ &=\dfrac{8\sqrt 3}3,\end{split}$$ 因此所求最大值为 $\dfrac{8\sqrt 3}3$．