设集合 $S,T$，$S\subseteq \mathbb N^{\ast}$，$T\subseteq \mathbb N^{\ast}$，$S,T$ 中至少有两个元素，且 $S,T$ 满足：
① 对于任意 $x,y\in S$，若 $x\neq y$，都有 $xy \in T$；
② 对于任意 $x,y\in T$，若 $x<y$，则 $\dfrac{y}{x} \in S$．
下列命题正确的是（ ）
A．若 $S$ 有 $4$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $7$ 个元素
B．若 $S$ 有 $4$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $6$ 个元素
C．若 $S$ 有 $3$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $4$ 个元素
D．若 $S$ 有 $3$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $5$ 个元素
答案 A．
解析 若 $S$ 中有 $3$ 个元素，不妨设为 $a,b,c$ 且 $a<b<c$，则 $ab,bc,ca\in T$，而 $ab<ca<bc$，于是 $\dfrac cb,\dfrac ba,\dfrac ca$ 均在 $S$ 中． 若 $\dfrac ca=b$，则 $\dfrac cb=\dfrac ba=a$，则 $S=\{a,a^2,a^3\}$，$T=\{a^3,a^4,a^5\}$，于是\[S\cup T=\{a,a^2,a^3,a^4,a^5\}.\] 若 $\dfrac ca=c$，则 $a=1$，此时 $\dfrac cb=b$，于是 $S=\{1,b,b^2\}$，$T=\{b,b^2,b^3\}$，于是\[S\cup T=\{1,b,b^2,b^3\}.\] 综上所述，当 $S$ 中有 $3$ 个元素时，$S\cup T$ 有 $4$ 个或 $5$ 个元素．
若 $S$ 中有 $4$ 个元素，设为 $a,b,c,d$ 且 $a<b<c<d$，则\[ab,ac,ad,bc,bd,cd\in T,\]进而\[\dfrac ba,\dfrac ca,\dfrac da,\dfrac cb,\dfrac db,\dfrac dc,\dfrac{cd}{ab},\dfrac{bd}{ac},\max\left\{\dfrac{ad}{bc},\dfrac{bc}{ad}\right\}\in S,\]由于其中\[\dfrac ba<\dfrac ca<\dfrac da<\dfrac{cd}{ab},\]它们互不相同，于是必然有\[\dfrac ba=a,\quad \dfrac ca=b,\quad \dfrac da=c,\quad \dfrac{cd}{ab}=d,\]于是有\[S=\{a,a^2,a^3,a^4\},\quad T=\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^6\},\]进而\[S\cup T=\{a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}\]有 $7$ 个元素．