每日一题[2030]二分划中的等差数列

已知 $A,B$ 是正整数集的二分划，证明：$A$ 和 $B$ 中至少有一个集合中存在三个数成等差数列．

解析    考虑 $1,2,3,\cdots,9$ 逐一安排进集合 $A,B$ 且 $1\in A$，必然会出现以下情形之一

$$\begin{array}{l|l|c}\hline A&B&\text{无法安排的数}\\ \hline 1,3,4,6&2,5,7&8\\ \hline 1,3,4&2,5,6&7\\ \hline 1,3,6,7&2,4,5&8\\ \hline 1,3,6,8&2,4,5,7&9\\ \hline 1,4,5,7,8&2,3,6&9\\ \hline 1,4,5,7&2,3,6,8&9\\ \hline 1,4,5,8&2,3,6,7&9\\ \hline 1,4,6&2,3,5&7\\ \hline 1,4&2,3,5,6&7\\ \hline 1,2,4,5&3,6,7&8\\ \hline 1,2,4&3,5,6&7\\ \hline 1,2,5,6&3,4,7,8&9\\ \hline 1,2,5,7&3,4,6&8\\ \hline 1,2,5&3,4,6,7&8\\ \hline\end{array}$$ 这样就证明了命题．

备注    若考虑 $2^1,2^2,2^3,\cdots,2^9$ 逐一安排进集合 $A,B$，且 $2\in A$，就可以得到 $A$ 和 $B$ 中至少有一个集合中存在三个数成等比数列．