每日一题[1866]折翼双曲线

设 $P,Q$ 是双曲线 $x^2-y^2=4\sqrt 2$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线 $l$ 折成直二面角，则折叠后线段 $PQ$ 长度的最小值为_______．

答案    $4$．

解析    双曲线 $x^2-y^2=4\sqrt 2$ 上任意一点 $M(x_0,y_0)$ 到两条渐近线 $l_1,l_2$ 的距离之积为

$$\dfrac{|x_0-y_0|}{\sqrt 2}\cdot \dfrac{|x_0+y_0|}{\sqrt 2}=\dfrac{x_0^2-y_0^2}2=2\sqrt 2,$$ 设题中沿 $l_1$ 折起，$P,Q$ 到 $l_1$ 的距离均为 $m$，$P,Q$ 到 $l_2$ 的距离均为 $n$，则 $mn=2\sqrt 2$．考虑到 $l_1\perp l_2$，于是折叠后的线段 $$PQ^2=n^2+(2m)^2+n^2=4m^2+2n^2\geqslant 4\sqrt 2mn=16,$$ 等号当 $\sqrt 2m=n$ 时取得，因此所求最小值为 $4$．