每日一题[1775]内忧外患

已知集合 $A=\big\{(x,y)\mid |x|+|y|=a,a>0\big\}$，$B=\big\{(x,y)\mid |xy|+1=|x|+|y|\big\}$．若 $A\cap B$ 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 $a$ 的值为_______．

答案    $\sqrt 2$ 或 $2+\sqrt 2$．

解析    根据题意，$A$ 是 $(0,a),(-a,0),(0,-a),(a,0)$ 围成的正方形，$B$ 是 $4$ 条直线 $x=\pm 1$ 和 $y=\pm 1$，如图．

按 $a$ 与 $1$ 的大小关系讨论，可得 $a=\sqrt 2$ 或 $a=2+\sqrt 2$．