每日一题[1742]差分复差分

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 $n$，都有

$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3.$$

1、当数列 $\{a_n\}$ 为三项数列时，求所有满足条件的数列 $a_1,a_2,a_3$．

2、是否存在满足条件的无穷数列 $\{a_n\}$，使得 $a_{2013}=-2012$？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} a_1^2=a_1^3,\\ (a_1+a_2)^2=a_1^3+a_2^3,\\ (a_1+a_2+a_3)^2=a_1^3+a_2^3+a_3^2,\end{cases}\iff \begin{cases} a_1=1,\\ 2a_2+a_2^2=a_2^3,\\ 2(a_1+a_2)a_3+a_3^2=a_3^3,\end{cases}$$ 解得 $(a_1,a_2,a_3)=(1,2,3),(1,2,-2),(1,-1,1)$．

2、令 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，由题意得

$$S_n^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3,$$ 从而 $$(S_n+a_{n+1})^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3+a_{n+1}^3.$$ 差分可得 $$2S_n=a_{n+1}^2-a_{n+1},$$ 再差分可得 $$2a_n=\left(a_{n+1}^2-a_{n+1}\right)-\left(a_n^2-a_n\right)\iff \left(a_{n+1}+a_n\right)\left(a_{n+1}-a_n-1\right)=0,$$ 于是 $$a_{n+1}=-a_n\lor a_{n+1}=a_n+1,$$ 又因为 $a_1=1$，$a_{2013}=-2012$，所以存在如下形式的无穷数列满足条件： $$a_n=\begin{cases}n,& n\leqslant2012,\\2012(-1)^n,&n\geqslant2013.\end{cases}$$