每日一题[1731]抓基本量

设等差数列 $\{a_n\}$ 的各项均为整数，首项 $a_1=2019$，且对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $a_1+a_2+\cdots+a_n=a_m$．这样的数列 $\{a_n\}$ 的个数为_______．

答案    $5$．

解析    设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，且 $a_1+a_2=a_k$，则 $$2a_1+d=a_1+(k-1)d\implies a_1=(k-2)d,$$ 于是 $$a_1+a_2+\cdots+a_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d=a_1+(n-1)(k-2)d+\dfrac{n(n-1)}2d,$$ 因此只需要考虑使得 $k-2\mid a_1$ 的正整数 $k$ 的个数，而 $a_1=3\cdot 673$，从而 $k-2$ 可以取 $-1,1,3,673,2019$，有 $5$ 个取值．