每日一题[1684]柯西反向

函数 $y=-\sqrt{3} x+\sqrt{4 x^{2}+25}$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac{5}{2}$．

解析    根据柯西反向不等式，有

$$-\sqrt{3} x+\sqrt{4 x^{2}+25}=2\sqrt{x^2+\dfrac{25}4}-\sqrt 3x\geqslant \sqrt{4-3}\cdot \sqrt{\dfrac{25}4}=\dfrac 52,$$ 等号当 $$\dfrac{2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt{x^2+\dfrac{25}4}}{x}\iff x=\dfrac{5\sqrt 3}4$$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac 52$．