每日一题[1647]分拆

证明：

1、对于任意的 $a,b>0$，有 $\dfrac {1}{a+b}\leqslant \dfrac 14\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)$．

2、设 $x_1,x_2,x_3>0$，且 $\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\dfrac {1}{x_3}=1$，则

$$\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_1x_3+x_3x_2}+\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_1x_2+x_3x_1}+\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_2x_1+x_3x_2}\leqslant \dfrac 32.$$

解析

1、根据柯西不等式即得．

2、根据题意，有

$$\begin{split} LHS&=\sum_{\rm cyc}\dfrac{(x_1+x_2)+x_3}{(x_1+x_2)\cdot x_3}\\ &=\sum_{\rm cyc}\left(\dfrac 1{x_3}+\dfrac 1{x_1+x_2}\right)\\ &\leqslant \sum_{\rm cyc}\left(\dfrac1{x_3}+\dfrac 14\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)\right)\\ &=\dfrac 32\sum_{\rm cyc}\dfrac{1}{x_1}\\ &=RHS,\end{split}$$ 命题得证．