每日一题[1625]一一对应

已知 $S$ 是正整数集合的无穷子集，满足对任意 $a,b,c \in S$，$abc \in S$，将 $S$ 中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为 $\{a_n\}$，且已知 $a_1=2$，$a_{2031}=2^{4061}$，则 $a_{2017}=$ ______．

答案    $2^{4033}$．

解析    设 $a_n=2^{b_n}$，则数列 $\{b_n\}$ 的所有项组成的集合 $T$ 满足

$$\forall a,b,c\in T,a+b+c\in T,$$ 且 $b_1=1$，$b_{2031}=4061$．取 $b=c=b_1$，则有 $\forall a\in T,a+2\in T$，于是 $1,3,5,\cdots,4061$（共 $2031$ 项）都是数列 $\{b_n\}$ 中的项，从而 $$b_n=2n-1,n=1,2,\cdots,2031,$$ 因此 $b_{2017}=4033$，从而 $a_{2017}=2^{4033}$．