每日一题[1591]杨不等式

实数 $x,y \in (1,+\infty)$，且 $xy-2x-y+1=0$，求 $\dfrac 32x^2+y^2$ 的最小值．

答案    $15$．

解析    根据题意，有 $(x-1)(y-2)=1$，因此问题可以转化为已知 $a>0$，求 $m=\dfrac 32(a+1)^2+\left(\dfrac 1a+2\right)^2$ 的最小值．有

$$\begin{split} 2m&=3a^2+\dfrac2{a^2}+6a+\dfrac 8a+11\\ &\geqslant (3+2+6+8)\left((a^2)^3\cdot \left(\dfrac{1}{a^2}\right)^2\cdot a^6\cdot \left(\dfrac 1a\right)^8\right)^{\frac{1}{3+2+6+8}}+11\\ &=30,\end{split}$$ 等号当 $a=1$ 时取得，因此所求最小值为 $15$，当 $(x,y)=(2,3)$ 时取得．