每日一题[1597]双曲线的焦点三角形

已知 $P$ 为双曲线 $C: \dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$ 上一点，$F_1,F_2$ 为双曲线的左、右焦点，$M,I$ 分别为 $\triangle PF_1F_2$ 的重心、内心，若 $MI \perp x$ 轴，则 $\triangle PF_1F_2$ 内切圆的半径为_______．

答案    $\sqrt 6$．

解析    如图，设 $I$ 在 $\triangle PF_1F_2$ 三边上的投影分别为 $D,E,F$．

根据题意，有

$$DF_1-DF_2=F_1F-F_2E=(PF_1-PF)-(PF_2-PE)=PF_1-PF_2=4,$$ 于是 $D$ 在双曲线 $C$ 上，为其右顶点．进而由 $MI\perp x$ 轴可得，$M$ 点的横坐标为 $2$，进而 $P(6,4\sqrt 6)$．根据双曲线的焦半径公式 $I$，有 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆的半径 $$r=\dfrac{F_1F_2\cdot y_0}{PF_1+F_1F_2+F_2P}=\dfrac{2cy_0}{2ex_0+2c}=\sqrt 6,$$ 其中 $e$ 为双曲线的离心率，$x_0,y_0$ 为 $P$ 点横、纵坐标，$c$ 为双曲线半焦距．